- ακολουθία
- Η συμφωνία σε κάτι· η συντακτική συμφωνία στον λόγο, σε αντίθεση με την ανακολουθία· η λογική σειρά· το αποτέλεσμα, το συμπέρασμα.
(θεολ.) Στην εκκλησιαστική γλώσσα σημαίνει την τέλεση των διαφόρων ιεροπραξιών στον ναό με ορισμένη τυπική διάταξη. Οι εκκλησιαστικές ακολουθίες διαιρούνται σε τακτικές και έκτακτες. Τακτικές είναι εκείνες που επαναλαμβάνονται, όπως η Θεία Λειτουργία, και έκτακτες εκείνες που τελούνται σε έκτακτες περιστάσεις, όπως είναι το βάπτισμα, ο γάμος, το ευχέλαιο, η χειροτονία ιερέα, η νεκρώσιμη ακολουθία, η ακολουθία του αγιασμού, τα εγκαίνια μιας εκκλησίας, οι α. της Μεγάλης Εβδομάδας κ.ά. Τα κείμενα των ακολουθιών έχουν καταχωρηθεί στα διάφορα λειτουργικά βιβλία της Ορθόδοξης Εκκλησίας.
(Μαθημ.) Έστω Ε ένα σύνολο, διαφορετικό από το κενό, και μια οποιαδήποτε μονοσήμαντη απεικόνιση:
του συνόλου Ν, των φυσικών αριθμών, μέσα στο Ε. Η α ονομάζεται μία α. στοιχείων του Ε και συμβολίζεται:
αν, ν = 1, 2, 3, ... είτε: αν, νεΝ είτε (αν).
Αν E = R, το σύνολο δηλαδή των πραγματικών αριθμών, τότε η α. ονομάζεται α. πραγματικών αριθμών. Έστω (αν) μία α. πραγματικών αριθμών: 1) η (αν) ονομάζεται φραγμένη, εάν (και μόνο εάν) υπάρχει βΕR έτσι ώστε να ισχύει: |αν| ≤ β για κάθε ν = 1, 2... 2) η (αν) ονομάζεται αύξουσα (ή όχι φθίνουσα), εάν (και μόνο) ισχύει: αν ≤ αν+1 για κάθε ν = 1,2... Αν αντί ≤ τεθεί<, τότε ονομάζεται γνησίως αύξουσα. Στον προηγούμενο ορισμό, αν αλλάξουμε το ≤ σε ≥ και το < σε >, έχουμε τότε τον ορισμό για τη φθίνουσα (όχι αύξουσα) και τη γνησίως φθίνουσαα. πραγματικών αριθμών. Ο όρος μονότονος α. σημαίνει ότι η α. είναι αύξουσα ή φθίνουσα (δύο είδη μονοτονίας)· 3) μία α. (αν) λέμε ότι συγκλίνει προς τον αεR (και το συμβολίζουμε: αν → α ή lim αν = α), εάν (και μόνο),
ν → + ∞
για κάθε ε > ο υπάρχει δείκτης νο (που, γενικά, εξαρτάται από τον ε) έτσι, ώστε να ισχύει: |αν–α| < ε για κάθε ν > νο· 4) η (αν) ονομάζεται βασική ή α. του Κοσί, εάν (και μόνο εάν) για κάθε ε > ο υπάρχει δείκτης νο (που, γενικά, εξαρτάται από τον ε) έτσι ώστε να ισχύει |αμ–αν| < ε για κάθε μ > νο και ν > νο. Στο R κάθε βασική α. συγκλίνει. Στο σύνολο Q των ρητών αριθμών, αυτό δεν ισχύει. Υπάρχουν δηλαδή α. ρητών αριθμών, που δεν συγκλίνουν σε ρητό αριθμό. Τα προηγούμενα μπορεί να διατυπωθούν γενικότερα για έναν μετρικό χώρο. Γενικότερα, σε έναν τοπολογικό χώρο, όχι αναγκαστικά μετρικό, η έννοια της σύγκλισης μιας α. του χώρου ορίζεται με την έννοια της περιοχής. Λέμε ότι η α. (αν) του χώρου συγκλίνει προς ένα σημείο του α, εάν (και μόνο) για κάθε περιοχή του α, V (α,ε), με ακτίνα ε > ο υπάρχει δείκτης νο (που, γενικά, εξαρτάται από τον ε), έτσι ώστε να ισχύει αν Ε V (α, ε) για κάθε ν > νο. Ο ορισμός αυτός, στην ειδικότερη περίπτωση του μετρικού χώρου, παίρνει μια ισοδύναμη διατύπωση με τη χρήση της μετρικής του χώρου.
Μία α. (αν) ονομάζεται αναδρομική, αν ο γενικός της όρος εκφράζεται γραμμικά με μερικούς προηγούμενούς του.
Έτσι η αριθμητική πρόοδος αν+1 = αν + λ, για κάθε ν = 1,2,… και η γεωμετρική πρόοδος αν+1 = λαν, για κάθε ν = 1, 2,... είναι αναδρομικές α.
μονότονη α. Ονομάζεται η α. εκείνη που είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα. Στην περίπτωση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα τότε ονομάζεται γνησίως μονότονη.
Η πραγματική α. Χn (όπου nΝ) είναι αύξουσα και συμβολίζεται μεεάν για n > m ισχύει Χn ≥ Xm. Αντίθετα, είναι φθίνουσα και συμβολίζεται με , εάν για n > m ισχύει Xn ≤ Xm.
Η πραγματική α. Χn (όπου nΝ) είναι γνησίως αύξουσα, εάν για n > m ισχύει Xn > Xm και είναι γνησίως φθίνουσα, εάν για n > m ισχύει Xn < Xm.
Γνησίως αύξουσες π.χ. είναι οι α.
ενώ γνησίως φθίνουσα είναι η α. 1, 
Στην περίπτωση που η πραγματική α. Χn (όπου n  N) είναι συγχρόνως αύξουσα και φθίνουσα, τότε η Χn είναι σταθερή α. Πράγματι, εάν για n > m ισχύει συγχρόνως Xn ≥ Xm και Xn ≤ Xm τότε Xn = Xm δηλαδή σταθερά.
φραγμένη α. Μία α. Χη (όπου n  N) καλείται φραγμένη, τότε και μόνο τότε, εάν υπάρχει κλειστό διάστημα [Μ, μζ] τέτοιο ώστε να περιλαμβάνονται όλες οι τιμές της.
Μια α. Χn (όπου n  N) καλείται απολύτως φραγμένη, τότε και μόνο τότε, εάν υπάρχει θετικός αριθμός Μ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε n  N να έχουμε |Χn| ≤ Μ.
Μία α. Χn (όπου n  N) καλείται άνω φραγμένη τότε και μόνο τότε, αν το σύνολο των τιμών της είναι άνω φραγμένο, πράγμα που ισοδυναμεί με το ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός Μ τέτοιος, ώστε για κάθε n  N να έχουμε Χn ≤ Μ. Ο Μ ονομάζεται άνω φράγμα της α. και κάθε πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος από το Μ είναι κι αυτός ένα άνω φράγμα της α.
Μία α. Χn (όπου n  N) καλείται κάτω φραγμένη τότε και μόνον τότε, αν το σύνολο των τιμών της είναι κάτω φραγμένο, πράγμα που ισοδυναμεί με το ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός Μ τέτοιος, ώστε για κάθε n  N να έχουμε Χn ≥ Μ. Ο Μ ονομάζεται κάτω φράγμα της α. και κάθε πραγματικός αριθμός μικρότερος από το Μ είναι κι αυτός ένα κάτω φράγμα της α.
Για παράδειγμα, η α. (Χn), n ≥ 1 και |Χ| ≤ 1 είναι φραγμένη. Ένα άνω φράγμα της είναι ο αριθμός 1 και ένα κάτω φράγμα είναι το –1.
Μικρογραφία που απεικονίζει ακολουθία λειτουργίας των βυζαντινών χρόνων.
* * *η (Α ἀκολουθία) [ἀκόλουθος]1. η λογική σειρά, η συνεχής διαδοχή«η ακολουθία τών σκέψεων»«τάξις καὶ ἀκολουθία» (Χρύσιππος)«κατ’ ακολουθίαν» — επομένως, σύμφωνα με την κανονική διαδοχή τών πραγμάτων (νεοελλ. και Ηρωδιαν.)2. η συνοδεία τών υφισταμένων ή τών υπηρετών«η ακολουθία τού Προέδρου», (πρβλ. Σοφ. απόσπ. 818. Πλάτ. Αλκ. Ι 122 c)3. εκκλησιαστική τελετή με αναγνώσματα και ψαλμούς σύμφωνα με το Τυπικό4. Μαθ. έστω Ε ένα μη κενό σύνολο και Μ ένα υποσύνολο τού συνόλου τών φυσικών αριθμών Ν. Κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση α: Μ->Ε λέμε ότι είναι μια ακολουθία από στοιχεία τού συνόλου Ε (ή και: μια ακολουθία στο Ε) και τήν συμβολίζουμε έτσι: αμ, μє Μ ή (αμ)Μ.
Dictionary of Greek. 2013.
